聚焦小学数学（二）

  策划：赵小雅 华应龙 贲友

别让数学教学沦为解题教学

  ■陈清容

  实际教学中，数学教学目标常常被简单地理解为数学知识的掌握。以知识掌握的数量和牢固程度作为唯一标准的教学评价，引导着师生对知识的单一追求。为了便于学生理解和接受，抽象、严谨且具有广泛应用性的数学知识经常被教师们分解为一道道数学题，解题成了数学教学活动的重要组成部分，引导学生解题成了数学教学的一种重要形式和手段。

  理论上，所有人都知道数学的教学目标是多元的，远不只是掌握知识和解题那么简单。然而，具体到教学一线，教师们总希望能抓住一些有形的、易于测量的东西来操作。于是，解题成了一线教师教学评价的抓手。的确，面对一道数学题，学生能否调用相关的数学知识来解决，可以折射出学生相关数学知识的掌握情况。学生能灵活调用数学知识来解决相关的问题，也表现为数学能力。于是，解题就成了教师衡量学生学习水平的重要标尺，学校也通过编写试卷，让学生解答批量的数学题来呈现学生的学习状况，了解、检验教师的教学。

  说到底，还是评价的导向在起决定作用。如果高考的影响力及其指挥棒的作用、考试评价的方式一天不改变，教师和学生们追逐成绩、把解题能力当作数学教学最高目标的现状也将很难改变。

  华罗庚说过：“学数学不做题目，等于入宝山而空返。”这说明，数学教学离不开解题，但是解题只能作为数学学习的重要途径，而不是数学学习活动的全部。数学教学对解题的依存关系表现为：

  数学学习过程需要解题这一重要的手段。解题作为数学学习过程的重要手段，其作用可以归结为以下几点：首先，解题过程引导学生逻辑思考。许多数学知识之间的关系非常严谨，知识的起源、认识、理解和掌握蕴含着严谨的推理、推断过程。这一过程往往是通过解决一个个数学问题来完成的。数学解题过程是若干数学知识的综合调用和一系列逻辑推理的组合，是一项重要的数学思维活动。所以数学解题过程成了数学学习活动的重要组成，成了一次次逻辑推证的过程。其次，解题是引导学生有步骤地走进数学的过程。数学知识本身是一个逻辑链，数学知识被分解为一系列相关联的问题，数学教学就是通过这些问题串，以旧引新，层层深入，引导学生逐渐走进数学的内核。再其次，数学问题直接挑战学生的智慧。数学知识以问题的形式呈现，在解题过程中学生首先要直面问题，有价值的数学问题能很好地挑战学生的智慧、激活学生的思维，更大限度地激发学生的创造潜能。

  解题不能准确地反映学生的全部学习状况。解题的过程受各种因素的影响，学生在解题过程中的表现也可能是片面的，只能反映学生数学学习的部分情况。人们对知识调用的速度和思维的灵活度与心情好坏、注意力集中程度等都有密切的关系。解题也会受题目质量的影响，如问题的呈现方式、表达习惯、定位的明显程度。个人的经验和成长历程以及对问题及其情境的熟悉程度，也决定个人对问题的适应性和感受性。许多老师要求学生“多做题”，认为多做题目就增长了见识。正是这种“一回生，二回熟”的信念，造成了对解题结果的过分追求，对提高解题能力手段的过度研究，使得解题成了操练的工具，解题也因此失去了呈现学生真实学习水平的意义。

  准确把握数学教学的目标与价值。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。学习数学的重要目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养。这需要每一位教师准确地把握数学教学的目标与价值，让数学课堂教学成为学习者思维活动交流的过程。

  充分发挥解题教学在数学教学中的功能。要想让数学教学不沦为解题的教学，就要帮助教师正确定位解题在数学教学中的意义和作用。一是要选择有教学价值的典型问题。二是要把问题的教学价值发挥到极致。充分挖掘问题的教学价值，适当安排时机发挥题目资源的效用，尽可能一题多用。三是在评价解题时，把通法（一般的普通方法）放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要关注解题过程反馈的价值信息。在关注解题结果的同时，考虑给过程分，关注解题过程中的各种表现，收集有效信息，帮助诊断教学，发现、利用有价值的教学资源。一方面引导学生重视解题过程，另一方面提醒教师从过程中收获信息的教学价值更甚于结果。教师应允许学生采用不同的思路，鼓励学生大胆发表见解，教师在理解的基础上应尊重各种合理的解题思路，并给出中肯的评价。五是要重视解题后的反思。解题过程中的试误过程和成功经验都值得反思。回顾自己如何经历“山穷水尽疑无路”，又如何达到“柳暗花明又一村”的境地，分析解题过程给带来的认识上的得与失。这些收获不亚于题目本身带给我们的价值。

  在数学学习中，我们既要扎扎实实地学好数学知识和技能，又要牢固地掌握数学思想和方法，而且要能灵活应用数学知识和技能解决实际问题。学习数学需要解题，但不取决于解题的多少，而在于解题前的分析、探索和解题后的反思。我们要让学生要成为解题的主人，要从解题中吸取解题的方法、思想，锻炼思维。

  （作者为深圳市南山区教研室教研员）

每道题都是有生命的

  ■孙家芳

  笔者曾经在某练习册上看到过这样一道题：狗、鹅、狮子和大象各一只分别装在同样的四条船上，你能根据每条船吃水的深度说出各条船上装的是什么动物吗？请将动物与对应的情况连线。

  经过思考，我把它改编成了填空题、选择题、操作题，最后又把它改成了开放题：四个动物，分别坐在四条船上，先猜猜每条船上分别装什么动物，再把每条船装的动物写出来，最后画出2号船。如下图：

  看着我改编出来的一道道题目，我反复想着：这些题目之间的相同点是什么？不同点是什么？同一个知识点、不同类型的题目所要承载的东西又是什么？忽然，我感觉到每一个题目都是有生命的，每道题目都在用自己所代表的独特思维方式与我们进行对话。

  然而，给这些题目赋予更强生命力的是我的学生。

  我把改编后的题目发给学生。全班23个学生，想法各不相同，还有学生质疑“放一只狗或者放一只鸭子，并不能分出船在水中的深浅”。这使我猛然醒悟：数学仅仅是解题吗？我这么长时间思考改编出来的题目在学生的质疑中不堪一击。于是我查找资料、广泛征求意见，把题目作了进一步修改：一堆沙土重6吨，一堆土豆重800千克，一堆棉花重7000千克，一些矿泉水重500千克，它们分别装在四条船上，先猜猜每条船上分别装了什么货物，再把每条船装的货物写出来，最后画出2号船。

  上课时，有个学生非要到投影仪前表达他的想法，很得意地展示他的作品。如下图：

  全班学生哄堂大笑。面对这样的情景，我选择了积极引导：“大家在笑什么？请说说你们的想法。”学生们快乐地阐述了自己的想法。

  “那么，这样做行不行呢？”学生认为这样做不仅行，在数学上就更行了，因为它简捷、准确、精炼。

  “那这样做好不好呢？”经过讨论，大家得出了共识，这样做在数学上好，但是在实际生活中是不行的。因为每条船都有限载问题，如果这条船限载6吨，就不能装7吨棉花，因为船会沉没；如果限载超过7吨，船就不会沉没。因此，我们要根据实际情况装载货物，要遵守规则。作为一种思维方式，上面那个学生的想法无可非议，但是数学中的“行不行”、“好不好”也要在一定程度上受到实际生活的制约。

  “怎么做可以避免这种情况的出现？”学生提出标明载重量。讨论中，学生又指出，载重量是生产厂家规定的，是船生产出来时就有的，正规船厂生产出来的船应该在船上标明载重量。

  “生活中还有哪些类似的情况？”……

  至此，这道题所承载的已经不是一道题的功能了，它富有生命活力，给学生以启迪。读懂题目的过程，其实也是读懂题目思维的过程。和不会说话的题目打交道，挖掘每道题的生命力，更需要我们有宁静的心、思考的脑、探究的力。

  （作者为北京市朝阳区教育研究中心教研员）

数学会给孩子们留下什么

  ■朱德江

  除了知识和技能，数学学习还能给孩子留下些其他的东西吗？

  日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：在学校学的数学知识，毕业后没什么机会可用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，作为学生数学学习初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的知识教学，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。

  留下意识。数学意识是指遇到问题能够自觉地从数学的角度进行观察和思考，能用数学去观察、解释、表示事物的数量关系和空间形式，形成一种数学化的思维习惯。举一个例子，学生会正确计算48÷4，说明掌握了除法的有关知识和技能；学生会用除法正确解答“有48个苹果，平均每人4个苹果，可以分给多少人”，说明学生具有一定的分析问题和解决问题的能力；而在体育课上，48位同学进行跳长绳活动，学生看到老师一共准备了四根长绳，他想到48÷4这个算式，说明学生不仅掌握了除法的基本知识和技能，而且数学意识也得到了较好的发展。小学生的数学意识主要包括数意识、符号意识、统计意识、数学应用意识等。留下意识，就是让学生拥有数学眼光，具体地说，就是具有对客观世界中的数量关系和空间形式的感受力，能自觉地从数学的视角观察事物，善于在生活与数学间建立联系，面临问题时能较快地尝试用数学方法解决问题。如，在“校门口早、中、晚3个时间段中，哪个时间段汽车流量最大”的统计活动中，教师把学生分成7个组，从星期一到星期日，每天一组，让学生自己设计并进行统计，再用一定的方式表达出当天3个时间段的车流量情况。在这样的统计活动中，学生不仅掌握了统计的一些基本方法，统计意识也初步得到发展。

  留下思想。数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性把握。一般认为，归纳和演绎是两种基本的数学思想，而分类、对应、化归、转化、类比等是更具体化的数学思想。学生数学思想的形成要经历从感性认识到感悟、理解的过程。留下思想，指学生在学习数学的过程中逐渐由感性到感悟，直至理解，内化为逻辑的数学思想。如学习“乘法分配律”时，学生经历“生活原型——提出猜想——举例验证——归纳总结”的过程，学生通过大量例子证明猜想的正确性，并归纳得出结论，在理解乘法分配律的同时，又一次积累了“归纳思想”的感性认识。